Ini adalah soal dan pembahasan Soal Aljabar Abstrak Materi Ring Polinomial. Materi ini diajarkan pada S-2 Pendidikan Matematika.
Soal
- Jelaskan apa yang dimaksud dengan Integral Domain?
- Apa perbedaan Integral Domain dengan Ring?
- Apa perbedaan Integral Domain dengan Field?
- (\mathbb{Z}) dan (\mathbb{Q}) masing-masing himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan rasional. Sistem Aljabar ((\mathbb{Z},+,\times)) dan (\mathbb{Q},+,\times) , dengan (+) operasi penjumlahan, dan (\times) operasi perkalian bilangan. Apa bedanya ((\mathbb{Z},+,\times)) dan ((\mathbb{Q},+,\times)).
- Diketahui
: (\mathbb{Z}[x]) adalah himpunan semua polinom (p(x))
(=a_{0}+a_{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}) dengan (a_{i}\in
\mathbb{Z},a_{n}\neq 0) ,
(\mathbb{Q}[x]) adalah himpunan semua polinom (p(x)) (=a_{0}+a_{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}) dengan (a_{i}\in \mathbb{Q},a_{n}\neq 0). Misalkan dua sistem aljabar ((\mathbb{Z}[x],+,\times)) dan ((\mathbb{Q}[x],+,\times)) mana yang merupakan Integral Domain!
Pembahasan Soal Ring Polinomial :
- Integral Domain merupakan himpunan bagian dari suatu ring yang pendefinisiannya melibatkan pembagian nol.
- Berdasarkan Definisi Integral Domain Pembagian. Pembagian nol-st (ab=0) dan (a\neq 0 , b\neq 0) maka (a,b) merupakan pembagi nol. Jadi, setiap Integral Domain merupakan ring. Tetapi, setiap ring bukan merupakan Integral Domain. Contoh : (\mathbb{Z}_{6}=\left \{ \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5} \right \}) merupakan ring. Sekarang (\overline{2}\times \overline{3} = \overline{0}) tetapi (\overline{2}\neq \overline{0}) dan (\overline{3}\neq \overline{0}).
- Definisi, field merupkan Ring Komutatif dengan perkalian dan setiap elemen bukan nol dari R memiliki invers, R merupakan field. Setiap field merupakan Integral Domain. Tetapi, Integral Domain tidak perlu field. Contoh: (\mathbb{Z}) merupakan Integral Domain. Karena (\mathbb{Z}) merupakan sifat komutatif sehubung dengan perkalian. Yaitu, (\mathbb{Z}) merupakan komutatif dan tidak ada pembagian nol. Tetapi, (\mathbb{Z}) merupakan bukan field, karena 2 tidak memiliki invers perkalian (\because 2 . \frac{1}{2}=1) tetapi (\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}) .
- ((\mathbb{Z},+,\times)) merupakan bukan field dimana ((\mathbb{Q},+,\times)) merupakan field. Penjelasan : ((\mathbb{Q},+,\times)) , setiap bilangan bulat bukan nol tidak memiliki invers, yaitu invers perkalian. Untuk misalnya. (2\in) (\mathbb{Z}) dan (1) merupakan identitas perkalian. Maka, tidak ada (n\in) (\mathbb{Z}) st (2n=1) dimana (n=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}). ((\mathbb{Q},+,\times)) memenuhi semua sifat yang diperlukan field. Maka ((\mathbb{Q},+,\times)) merupakan field.
- Polinomial di Ring (\mathbb{Q}\left[1\right]) merupakan bentuk ( a_{0}+a_{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n} ) dimana (a_{i}\in \mathbb{Q},a_{n}\neq 0). Karena Ring (\mathbb{Q}) adalah ring komutatif dengan kesatuan, maka Ring (\mathbb{Q}\left[1\right]) adalah Ring Komutatif dengan perkalian. Elemen Identitas dalam Ring (\mathbb{Q}\left[1\right]) adalah polinomial konstanta 1, 1 menjadi elemen identitas dalam Ring (\mathbb{Q}) . Elemen nol di Ring (\mathbb{Q}\left[x\right]) adalah polinomial konstan 0, 0 menjadi elemen nol di Ring (\mathbb{Q}) . Misalkan (f(x)) , (g(x)) merupakan polinomial yang bukan nol dalam (\mathbb{Q}\left[x\right]) derajat (n,m). Misal, (f)((x)) = ( a_{0}+a_{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{m}x^{m} ) dan (g)((x)) = ( b_{0}+b_{1}+b_{2}x^{2}+...+b_{m}x^{m} ) . kemudian (f(x)) , (g(x)) merupakan pada